找寻学生课堂“生长点”

　　

——《打电话》课堂教学实录

　　

许昌市襄城县文昌小学  刘忠伟

　　

　　课前思考：

　　

　　一、研究的数据怎样选择最合适？

　　

　　打电话，需要让学生经历有繁到简的研究过程，需要让学生有序的探索呈现研究打电话中蕴含的数学问题。 很多老师感觉打电话这节课不太容易，学生学起来有的一定的难度，为何难，难在了什么地方？

　　

　　教材呈现的问题情境，是从研究通知15人开始，然后通过分组，探索出最优方案。从通知15人研究，学生研究有难度，思维容易凌乱，既然15人的研究素材有难度，不妨从简单入手，从通知3人—通知7人—通知15人，经历由易到难的过程，感受到有序思考，逐步发现规律，这样的安排，降低了学习的难度。

　　

　　为何选择这3个数据，是基于打电话的核心知识来考虑。第n分钟新接到通知的人数，等于前（n-1）分钟接到通知的队员和老师的总和，n分钟通知的总人数=（n-1）分钟接到通知的总人数×2-1。所以3.7.15.31.63这样的数据，研究起来较为简单，便于学生发现打电话背后蕴含的规律。

　　

　　如果仅仅选择这样接近规律的数据来研究，对于学生思维能力的提升还是有欠缺的，为了让学生思维走向纵深，更好的构建解决此类问题的模型，可以从两方面来帮助学生打开思维。一方面选择逆向思考，通过研究8分钟最多能通知多少人，培养学生推理思想，从而将规律内化为经验。另一方面，通过研究通知41人最少需要多少几分钟，进一步引用规律解决实际问题，从而培养学生的应用意识。

　　

　　二、分组是“顺其自然”还是“营造自然”？

　　

　　设计打电话的方案，需要考虑尽量每个人不空闲和同一时间内做的事情同时做，按照这样的研究思路，自然存在学生分组打电话的问题。如果顺其自然的分，学生可能会考虑分成3组、4组、5组等，这样的分组过程，因为即使分3组，也会有多种不同的情况出现，在学生刚接触相关知识时，这样顺其自然的分组，会让学生思维出现凌乱，研究方向出现偏差。营造自然的分组，是从简单问题入手，不刻意的研究分组，随着研究的深入，自然形成多层机构网状图，这样的一个过程，从简单到复杂，从单层到多层，无需过多的强调分组，随着研究的深入，分组自然水到渠成。这样的一个学习过程，避免了学生思维的过度凌乱，让分组不经意间变得简单，在充分的交流活动中，更容易调动学生的学习和探索的积极性。

　　

　　1、联系生活，找寻原型

　　

　　师 ：同学们如果想和刘老师联系，都有哪些方式？

　　

　　生：微信，QQ发信息，发邮件，打电话……

　　

　　师：打电话是平时我们经常联系的方式，今天，我们用数学的眼光，研究打电话中蕴含的数学问题。

　　

　　2、猜测联想，构建表象

　　

　　师：周末，刘老师接到一个通知，这个通知需要传达给班级的31名同学，如果采取打电话方式通知，每通知1人需要1分钟，通知完全班同学，你认为需要多长时间？

　　

　　生1：我认为需要31分钟。

　　

　　生2：我认为教师可以通知3名同学，这3位同学再通知其他同学，不需要31分钟，我估计15分钟就够了。

　　

　　生：我感觉需要10分钟。

　　

　　师：这个问题对于我们来说，是有点难度，还记得华罗庚爷爷告诉我们的学习方法吗？

　　

　　生：知难而退。

　　

　　师：对，知难而退。遇到复杂的问题，我们可以先从简单的问题入手，一起找寻解决问题的办法。

　　

　　3、找寻策略，搭脚手架

　　

　　（1）通知3人，找寻最优。

　　

　　师：如果我们不通知31人，而是通知3人，应该怎样通知，请你设计出打电话的方案。

　　

　　学生设计方案

　　

　　师：哪位同学愿意和大家分享你设计的打电话方案？

　　

　　生1：我是这样设计的：刘老师打电话给第一名同学，然后第一名同学给第二名同学打电话，第二名同学给第三名同学打电话，一共用时3分钟。

　　

　　生2：我也是用时3分钟，但是我是用画图的方式

　　

　　生3：我和他画的图不一样。

 

　　

　　师：还有不同的表示方法吗？

 

 

　　

　　师：用符号和流程图来表示更加简洁和明了，（板书：要简洁）看来用画图的方式，表示出设计方案，是一个不错的方法。

　　

　　生4：老师，我不赞同他们的设计方案，我的设计方案用时两分钟，第一分钟，老师打电话给1号同学，第二分钟，老师打电话给2号同学的时候，1号同学同时打电话给2号同学。

 

　　

　　师：为了便于大家跟家清楚的看明白你设计的方案，可以在图中标时间。

　　

　　（板书：标时间）

 

　　

　　师：节约了一分钟，这一分钟节约在了哪里？

　　

　　生1： 3分钟的设计方案，有人空闲，2分钟的设计方案，每个人都要通知，没有人空闲。

　　

　　师：不空闲，同时做。这样的学习内容以前我们也遇到过，还记得是在学习什么知识的时候吗？

　　

　　生1：烙饼问题。

　　

　　生2：沏茶问题的时候，也应用了不空闲，同时做。

　　

　　生3：没有人空闲，这样的方案设计出来才是最省时间的。

　　

　　师：要想设计一个打电话省时间的方案，你会提醒同学们注意什么？

　　

　　生：想设计一个好方案，需要让每一个知道信息的人都“不空闲”，这样设计出来的方案，才会节约时间。

　　

　　师：对，不空闲，是我们在设计最优方案时要考虑的核心问题。

　　

　　（板书：不空闲）

　　

　　（2）通知7人，构建模型。

　　

　　师：如果刘老师通知7名同学，最少需要多少时间，请你设计出打电话的方案。

　　

　　师：我们请几位同学介绍设计的方案。

　　

　　生1：我设计的方案用时4分钟，我是这样设计的：第一分钟，老师给1号同学打电话；第二分钟，老师给2号同学打电话，1号给3号打电话以此类推，一共4分钟。

 

　　

　　生2：第三分钟的时候，1号和老师不是空闲了吗，不是最节约时间的方案。

　　

　　师：老师观察有一位同学设计的方案是这样的，看到他的方案，你想对他说什么？

 

　　

　　生1：需要标注上时间，这样更清晰。

　　

　　生2：不能有遗漏，需要通知7个人，忘记通知6号同学，有遗漏。

　　

　　生3：应该按照顺序，第一分钟，老师通知1号同学，第二分钟，老师和1号同学分别通知2号和3号，第三分钟，老师和1号、2号、3号同学分别通知4号、5号、6号、7号同学。

　　

　　师：刚才同学说的非常好，通知7名同学，确定通知的顺序非常重要。（板书：定顺序）

　　

　　生：老师，我设计的方案也是3分钟，但是画出的图更简洁。

 

　　

　　师：同学们评价下这样同学的流程图。

　　

　　生1：我感觉这样更清晰，很清楚的看出来每分钟通知的学生。

　　

　　生2：比起刚才的图，我感觉这样更简洁。

　　

　　生3：刚才有的同学的图有点乱，这个图更容易标注时间、确定顺序，更简洁。

　　

　　师：我们也可以借鉴刚才同学的画图方法，来继续研究打电话中的问题。

　　

　　（3）通知15人，探索规律。

　　

　　师：按照刚才的方式，如果通知到15名同学，请你和同桌合作，设计出最省时的方案。

　　

　　学生同桌合作，设计方案

　　

　　师：和别人分享学习，也是很好的学习方式，同学们可以在分享交流中完善自己的方案。

　　

　　生1：我和同桌介绍我们的设计方案。我们小组用时5分钟。

 

　　

　　生2：我不赞成他们的方案，通知15人就可以，他通知了17个人。

　　

　　生3：我们的方案是这样的：

 

　　

　　生4：我不赞成他们的方案，第4分钟，一共有4人空闲，这不是最省时的方案。

　　

　　师：要想最省时，需要注意什么？

　　

　　生：一定不能有人空闲！

　　

　　师：同学们可以继续分享你们小组的方案。

　　

　　生1：我们的方案用时4分钟，第一分钟，刘老师打电话给1号同学，第二分钟，刘老师和1号同学分别打电话给2号同学和3号同学，第三分钟，刘老师、1、2、3号同学分别打电话给4、5、6、7号同学，第四分钟，刘老师和1——7号同学分别打电话给8——15号同学。

 

　　

　　生2：我们小组的设计方案和他们一样，但是我们认为前三分钟和前面一样，所以就不用介绍前三分钟。

　　

　　师：学习数学，我们就要学会用最简洁的语言和方式来介绍想法，这也是一种优化。

　　

　　生1：我发现第四分钟得到通知的有15人。

　　

　　生2：不是得到通知的有15人，而是得到通知的总人数是15人，第四分钟有8人在通知，应该新通知了8人。

　　

　　生3：第四分钟知道信息的人有16人。

　　

　　师：知道信息的总人数有16人，第四分钟知道信息的有15人，怎么会有一个人的差别？

　　

　　生1：因为老师不要通知。

　　

　　生2：知道信息的总人数里面包括老师，通知的总人数不包括老师，所以每次都会有一个人的差别，比如第三分钟，知道信息的总人数有8人，但是接到通知的总人数有7人，老师不需要通知自己。

　　

　　师：通过同学们的辨析，我们明白了两种量：知道信息的总人数和得到通知的总人数，并且区分了新通知的人数和接到通知的总人数。我们继续梳理前几分钟的相关信息，（出示表格），看看能不能发现发现里面蕴含了怎样的规律。

　　

　　表3-1

 

时间	第一分钟	第二分钟	第三分钟	第四分钟
知道信息总人数
得到通知的总人数

 

　　时间第一分钟第二分钟第三分钟第四分钟

　　

　　知道信息总人数

　　

　　得到通知的总人数

　　

　　学生讨论交流。

　　

　　生1：第一分钟知道信息总人数是2人，得到通知总人数是1人；第二分钟知道信息总人数是4人，得到通知的总人数是3人；第三分钟知道信息总人数是7人，得到通知总人数是8人；我发现知道信息总人数是-1=得到通知总人数。

　　

　　表3-2

 

时间	第一分钟	第二分钟	第三分钟	第四分钟
知道信息总人数	2	4	8	16
得到通知的总人数	1	3	7	15

　　

　　时间第一分钟第二分钟第三分钟第四分钟

　　

　　知道信息总人数24816

　　

　　得到通知的总人数13715

　　

　　生2：我发现：后一分钟，知道信息的总人数=前一分钟知道信息的总人数+得到通知的总人数。

　　

　　生3：我发现：第一分钟知道信息的总人数是2人，第二分钟知道信息的总人数是4人，第三分钟知道信息的总人数是8人，第四分钟知道信息的总人数是16人，后一分钟的总人数是前一分钟总人数的2倍。

　　

　　生5：他说的可以用算式表示出来，就是1×2=2，2×2=4，4×2=8，8×2=16.

　　

　　生6：我做个补充，在他刚才总结的基础上，每次减去1，就是接到通知的总人数。

　　

　　4、沟通联系，应用规律

　　

　　师： 六一儿童节，刘老师接到一个通知，刘老师有一个通知需要传达给班级的41名同学，如果采取打电话方式通知，每通知1人需要1分钟，通知完全班同学，你认为需要多长时间？

　　

　　生1：我认为需要6分钟，依照刚才的规律，第五分钟能通知到32-1=31人，第六分钟能通知到64-1=63人。

　　

　　生2：第六分钟能通知63人，所以41人更不是问题。

　　

　　师：我们再来逆向思考，解决一个更难的问题。像刚才哪样，8分钟最多可以通知多少名学生？

　　

　　生1：可以按照刚才的方式，七分钟可以通知128-1=127人，八分钟可以通知256-1=255人。

　　

　　生2：我感觉可以这样思考：1分钟知道信息的2个人，两分钟知道信息的是2×2；三分钟知道信息的2×2×2，八分钟就是2×2×2×2×2×2×2×2=256人，再减去刘老师，应该是255人。

　　

　　师：我们再来一起梳理刚才同学的方法，1分钟知道信息的2个人，就是1个2，两分钟知道信息的就是2×2，两个2相乘，3分钟知道信息的就是2×2×2，3个2相乘，4分钟知道信息的是2×2×2×2；接续推下去，8分钟知道信息的总人数就是8个2相乘。

　　

　　5、延伸拓展，感悟思想

　　

　　师：我们今天学习了打电话中蕴含的数学问题，这类数学问题如果我们继续思考，其实也很有意思，如果我们继续这样打电话。就会有下面的数据出现。

　　

　　第 9 分钟：       512   人

　　

　　第10分钟：      1024   人

　　

　　第11分钟：      2048   人

　　

　　第12分钟：      4096   人

　　

　　第13分钟：      8192   人

　　

　　第14分钟：     1 6384  人

　　

　　第15分钟：     3 2768  人

　　

　　第16分钟：     6 5536  人

　　

　　第17分钟      13 1072  人

　　

　　第18分钟：    26 2144  人

　　

　　第19分钟：    52 4288  人

　　

　　第20分钟：   104 8576  人

　　

　　……

　　

　　30分钟：10 7374 1824人

　　

　　第31分钟，就可以通知全国的13亿人。

　　

　　师：生活中，也有很多这样的原型，我们经常会听到有人说：“鸡生蛋，蛋孵鸡，鸡再生蛋，蛋再孵鸡。”这就是被爱因斯坦称为世界第八大奇迹的“倍增学”。